达布定理为什么可以取中间值

达布定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在一个区间上的平均值和函数在这个区间上某个点的函数值之间的关系。具体来说，设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$f(x)$在$[a,b]$上的积分为$I$，则存在一个点$c\in[a,b]$，使得$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$。

为什么达布定理可以取中间值呢？这是因为达布定理的证明涉及到了介值定理。介值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了连续函数在一个区间上取遍它在这个区间端点处函数值之间的所有值。具体来说，设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$f(a)=A$，$f(b)=B$，则对于任意一个介于$A$和$B$之间的数$C$，都存在一个点$c\in[a,b]$，使得$f(c)=C$。

在达布定理的证明中，我们将函数$f(x)$分成若干个小区间，然后对每个小区间应用介值定理，找到该区间上的一个点使得$f(x)$在该点处等于该区间上的平均值。然后我们再将这些点连起来，就得到了一个区间$[a,b]$上的连续函数$g(x)$，满足$g(a)=f(a)$，$g(b)=f(b)$，且$g(x)$在每个小区间上等于该区间上的平均值。由于$g(x)$是一个连续函数，且在区间$[a,b]$上等于$f(x)$的平均值，因此根据介值定理，$g(x)$必然取遍$f(x)$在$[a,b]$上所有的函数值，即存在一个点$c\in[a,b]$，使得$g(c)=f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$。因此，达布定理可以取中间值。

总之，达布定理可以取中间值是因为它的证明涉及到了介值定理，利用介值定理可以构造一个连续函数$g(x)$，使得$g(x)$在每个小区间上等于该区间上的平均值，并且$g(x)$在$[a,b]$上取遍$f(x)$的所有函数值，从而得到了一个点$c\in[a,b]$，使得$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$。